Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Bước 1

Lập công thức để tìm phương trình đặc trưng $p (λ)$ .

$p (λ) = định thức (A - λ I_{2})$

Bước 2

Ma trận đơn vị cỡ $2$ là ma trận vuông $2 \times 2$ có đường chéo chính gồm các hệ số một và phần còn lại là các hệ số không.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Bước 3

Thay các giá trị đã biết vào $p (λ) = định thức (A - λ I_{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$ bằng $A$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Bước 3.2

Thay $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ bằng $I_{2}$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân $- λ$ với mỗi phần tử của ma trận.

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.2

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.2.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.3

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.3.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Bước 4.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Bước 4.3

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $1$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Bước 4.3.2

Cộng $3$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

Bước 5

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Bước 5.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Khai triển $(2 - λ) (2 - λ)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Bước 5.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Bước 5.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Bước 5.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$p (λ) = 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.1.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.1.5

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1.5.1

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.1.5.2

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.1.7

Nhân $λ^{2}$ với $1$ .

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.2

Trừ $2 λ$ khỏi $- 2 λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Bước 5.2.1.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3$

Bước 5.2.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$p (λ) = - 4 λ + λ^{2} + 1$

Bước 5.2.3

Sắp xếp lại $- 4 λ$ và $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1$

Bước 6

Đặt đa thức đặc trưng bằng $0$ để tìm các trị riêng $λ$ .

$λ^{2} - 4 λ + 1 = 0$

Bước 7

Giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 7.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 4$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $λ$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.3

Trừ $4$ khỏi $16$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.4

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Bước 7.3.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$λ = 2 \pm \sqrt{3}$

Bước 7.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Dạng thập phân:

$λ = 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$